Question

椭圆x216+y24＝1上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-14．（1）求证：|OP|2+|OQ|2是定值．

椭圆x216+y24＝1上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-14．（1）求证：|OP|2+|OQ|2是定值．（2）求PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

解答：（1）证明：设P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之积为-

1

4

，
∴

2sinα

4cosα

×

2sinβ

4cosβ

＝?

1

4

∴cos（α-β）=0，
∴α-β=2kπ±

π

2

，k∈Z．
∴|OP|²+|OQ|²=16（cosα）²+4（sinα）²+16（cosβ）²+4（sinβ）²=20（cosβ）²+20（sinβ）²=20为定值；
（2）解：设M（x，y），则x=2cosα+2cosβ，即

x

2

=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：

x2

4

+y2=2，即

x2

8

+

y2

2

＝1．