Question

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）
=

1

2

（log₂x）²-

3

2

log₂x+1，2≤x≤4
令t=log₂x，则y=

1

2

t²-

3

2

t+1=

1

2

（t-

3

2

）2-

1

8

，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=

3

2

时，y_min=-

1

8

，当t=1，或t=2时，y_max=0．
∴函数的值域是[-

1

8

，0]．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t²-

3

2

t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜

1

2

t+

1

t

-

3

2

对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[2，4]，
∴g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

=

1

2

（t+

2

t

）-

3

2

，
∵g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g（t）_min=g（2）=0，
∴m＜0．