Question

已知函数f(x)＝(2log4x?2)(log4x?12)．（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog2x对于x

已知函数f(x)＝(2log4x?2)(log4x?12)．（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝(2log4x?2)(log4x?

1

2

)，
令t＝log4x，x∈[2，4]时，t∈[

1

2

，1]
此时，y＝(2t?2)(t?

1

2

)＝2t2?3t+1，
当t=

3

4

时，y取最小值?

1

8

，
当t=

1

2

或1时，y取最大值0，
∴y∈[?

1

8

，0]
（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，
即2t²-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，
∴m≤t+

1

2t

?

3

2

对t∈[1，2]恒成立
易知g(t)＝t+

1

2t

?

3

2

在t∈[1，2]上单调递增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m≤0．