Question

（2013?重庆模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面ABCD所

（2013?重庆模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面ABCD所成的角为45°，E、F分别是BC、PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）BC=AB，∠ABC=60°，∴AE⊥BC，∴△ABC是等边三角形；
又E是BC中点，∴AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD；
PA⊥面ABCD，AE?平面ABCD，PA⊥AE，即AE⊥PA，AD∩PA=A；
∴AE⊥平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，

AE

、

AD

、

AP

分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系；
根据已知条件及图形知，∠PCA是直线PC与底面ABCD所成的角，∴∠PCA=45°，∴PA=AC；
设菱形ABCD的边长为2，∴A（0，0，0），E(

3

，0，0)，P（0，0，2），C(

3

，1，0)，F(

3

2

，

1

2

，1)；
设平面AEF的法向量为

n1

＝(x1，y1，z1)，则

AE ? n1 ＝0 AF ? n1 ＝0

，

AE

＝(

3

，0，0)，

AF

＝(

3

2

，

1

2

，1)；
∴

3 x1＝0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1＝0

令y₁