（2013?重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F为PC的中点，AF⊥
（2013?重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二...
（2013?重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
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| （1）2  （2） |
| （1）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD 以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz， 则OC=CDcos  =1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin = ，∴可得A（0，﹣3，0），B（ ，0，0），C（0，1，0），D（﹣ ，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z） ∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，  ），由此可得 =（0，2， ），∵  =（ ，3，﹣z），且AF⊥PB，∴ ? =6﹣ =0，解之得z=2 （舍负）因此，  =（0，0，﹣2 ），可得PA的长为2 ；（2）由（1）知  =（﹣ ，3，0）， =（ ，3，0）， =（0，2， ），设平面FAD的法向量为  =（x 1 ，y 1 ，z 1 ），平面FAB的法向量为 =（x 2 ，y 2 ，z 2 ），∵ ? =0且 ? =0，∴ ，取y 1 = 得 =（3， ，﹣2），同理，由  ? =0且 ? =0，解出 =（3，﹣ ，2），∴向量 、 的夹角余弦值为cos＜ ， ＞= = = 因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于  =
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