Question

求指教对坐标的曲线积分计算椭圆 x=acosθ y=bsinθ 所围成的面积A

L：{ x = acosθ { y = bsinθ
面积 = ∫∫D dxdy
= (1/2)∮L xdy - ydx
= (1/2)∫(0→2π) [(acosθ)(bcosθ) - (bsinθ)(- asinθ)] dθ
= (1/2)∫(0→2π) (abcos²θ + absin²θ) dθ
= (1/2)(ab)(2π)
= πab
用格林公式算面积的我知道，可是从 (1/2)∮L xdy - ydx之后就不明白了，为什么会化成下面的那些形式。

Answer 1

如果对公式：面积A=∬D  dxdy=(1/2)∮L xdy-ydx很明白，那么后面的运算就应该没问题。

把x=acosθ,dx=-asinθdθ；y=bsinθ,dy=bcosθdθ；代入(1/2)∮L(xdy-ydx)即得。

Answer 2

x = a*cosθ，则 dx = a * (-sinθ) * dθ
y = b*sinθ，则 dy = b * cosθ * dθ
那么，
x*dy - y*dx
=(a*cosθ)*(b*cosθ*dθ) - (b*sinθ)*(-a*sinθ*dθ)
=ab*(cosθ)^2 *dθ + ab *(sinθ)^2 *dθ
=ab * [(cosθ)^2 + (sinθ)^2] * dθ
=ab * dθ
下面再继续对 dθ 进行积分就应该不是难题了吧？