Question

困扰我很久的一道高中数学题，求详细解题步骤！

参考答案为A.

Answer 1

如图，OA=a，A 在以原点为圆心，5 为半径的圆上；

因为 |b| ≤ 1 ，所以 4|b| ≤ 4 ，OB = 4b ，B 在以原点为圆心，4 为半径的圆内（或圆上）；

|a-4b| = |OA-OB| = |BA| ≤ √21 ，因此满足条件的 B 在以 A 为圆心，√21 为半径的圆内，

两个条件结合，B 在如图的阴影内，

要使 a*b 最小，就要使 a*4b 最小，也即 OA*OB 最小，

根据定义，OA*OB = |OA|*(|OB|cos∠BOA) = 5(|OB|*cos∠BOA) ，

所以 |OB|*cos∠BOA 最小，也即 OB 在 OA 上的投影最小，

由图知，当 B（5-√21，0）时所求值最小，

此时 a、b 共线，|a| = 5 ，|b| = (5-√21)/4 ，

所以，所求最小值为 (25-5√21)/4 。选 A