Question

关于高等代数线性空间中子空间的并的一点疑惑

北大丘维声老师的书中写到：为了构造V的子空间V1和V2的并集V1∪V2的一个子空间，那个这个子空间应当包含下面集合｛a1+a2｝。

。我想问一下什么叫V1∪V2的一个子空间。V1∪V2并不满足加法封闭因此它根本不是一个线性空间。要是按照书上这样说的话，岂不是在讨论一个非线性空间的子空间吗？？？

而且V1∪V2是什么样子的，我想象不出来。属于v1的向量a1+属于v2的向量a2，它们的和的集合为什么会是V1∪V2的一个最小子空间啊啊啊啊啊？？？？？？？？？？？？
看错了，是包含V的子空间V1和V2的并集V1∪V2的一个子空间，也就是说V1∪V2是包含在V1+V2这个子空间里的是吗？我提上面的问题的时候看漏了这里这个包含*

Answer 1

是的。V1+V2是包含V1∪V2的V的最小的子空间，假设W也是包含V1∪V2的一个子空间，由于空间对加法封闭，所以集合{a1+a2}是W的子集，这意味着V1+V2是W的子空间。一般情况，V1∪V2不是一个子空间，其是子空间的充要条件是V1和V2在包含关系下是全序集，即或者V1包含V2，或者V2包含V1。