Question

数学集合问题

1.化简集合｛y | y=x²，x∈R｝
2.由实数构成的集合A，若a∈A（a≠1），则1/（1-a）∈A
求证1.若2∈A则集合中必有另外两个元
2.集合A中至少三个元素
3.有集合A｛x，xy，x-y｝ B｛0，|x|，y｝求AB

在线等，重在过程！
第三题少一个条件：A=B

Answer 1

1.{y|y>=0,y∈R}
2.证明：1.2∈A 则1/（1-2）∈A 即－1∈A
则有1/（1-（－1））∈A 即1/2∈A
故必有另外两元且它们是-1和1/2
2.若a∈A（a≠1），则1/（1-a）∈A，
1/（1-a）∈A，故1/（1-1/（1-a））∈A 即（a-1）/a∈A
若a=1/（1-a）,则a^2-a+1=0,此关于a的方程无实数解，矛盾，
故a不等于1/（1-a）；
若a=(a-1)/a,则a^2-a+1=0,同上矛盾，故这两数不相等
若1/(1-a)=(a-1)/a,则a^2-a+1=0,同上矛盾，故这两数不相等
可见这三个元素两两互不相等，证明了集合A中至少有三个元素
3.由于集合元素的互异性，有x≠0,y≠0,x≠xy即y≠1
若x=|x|，则xy=y且x=y,解出x=y=1,不合题意
则x=y，此时xy=|x|，x-y=0即x=y,
当x>0时，xy=x，不合题意；
故x<0,此时xy=-x,x=y,解出x=y=-1,
故A={-1,1,0}=B

Answer 2

1.{y|y>=0,y∈R}
2.1.2∈A 则1/（1-2）∈A 即－1∈A
则有1/（1-（－1））∈A 即1/2∈A
2. 若a∈A 则1/（1-a）∈A
若1/（1-a）∈A 则1/（1-1/（1-a））∈A 即（a-1）/a∈A
所以至少存在a,1/（1-a）,（a-1）/a 三个元素
3.AB＝{x|x|,xy,x|x|y,xy^2,|x|(x-y),y(x-y)}

Answer 3

1.y=x^2,说明y>=0,故{y|y>=0}
2.若2∈A，1/（1-a）=-1∈A；-1∈A，1/（1-a）=1/2∈A
故必有另外两元 至少三个元素：2，-1,1/2
第三题感觉少条件。。。