Question

如何证明三角形两边之和大于第三边

Answer 1

证明：
假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c，且a、b、c大小任意；
证明：a+b＞c；
因为a、b、c都为正数，所以要使得a+b＞c成立，只需证明（a+b）²＞c²，即：
（a+b）²-c²＞0；
根据余弦定理：cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（（a+b）²-c²-2ab）/2ab；
移项得：（a+b）²-c²=2ab（2+cosB）；
对于等式的右边：cosB在角B取值范围内的值为（-1,1）；
所以1＜（2+cosB）＜2；
又因为a、b都是正数；
所以2ab（2+cosB）＞0，即（a+b）²-c²＞0，即a+b＞c；
综上所述，证得：三角形的任意两边之和大于第三边

Answer 2

构造三角形ABC，假设结论不成立，即存在AB+BC<=AC；

延长AB到D，使BD=BC，那么在三角形BCD中∠BCD=∠BDC，

因为AC>=AB+BC>AB，延长AB到E，使AE=AC，那么在三角形ACE中，∠AEC=∠ACE，

又三角形内角和定理可知：

180°=∠ACE+∠AEC+∠A = ∠A + 2∠AEC；

180°=∠CBD+∠BDC+∠BCD = ∠CBD + 2∠BDC；

又由外角和定理知：∠CBD = ∠A + ∠ACB；

综合上面三个式子：可知∠AEC = (1/2)∠ACB + ∠BDC > ∠BDC；(1)

若AC=AB+BC，那么AB+BE=AE=AC=AB+BC=AB+BD，知BD=BE，即D和E重合，

那么∠AEC = ∠BDC 与(1)式矛盾，不成立。

同理：若AC>AB+BC，那么BE>BD，此时∠BDC = ∠AEC + ∠DCE > ∠AEC，与(1)式矛盾，不成立。故在三角形中不存在两边的和小于或等于第三边。

即三角形两边的和大于第三边。

∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠

Answer 3

可以用反证法证明
设任意三角形的三边分别为：a,b,c,（自然：a大于0，b大于0，c大于0）
根据反证法，我们这样假设：三角形的任意两边之和都小于或者等于第三边。
所以：a+b小于或等于 c（1）
a+c小于或等于 b（2）
b+c小于或等于 a（3）
将（1）（2）（3）相加可以得出：2（a+b+c）小于或等于（a+b+c），即：（a+b+c）小于或等于0，
这个结论错误，
故：假设不成立，即：三角形任意两边之和大于第三边。

Answer 4

△ABC中，若是锐角△，（任意一顶点）A向对边引一垂线，垂足为D，则第三边BC=BD+CD；
在RT△ADB和RT△ADC中，AB＞BD、AC＞DC，（斜边大于直角边），故AB+AC＞BD+DC（BC）。
同理可证钝角三角形。

Answer 5