用余弦定理证明：在三角形中， （1）a=bcosC+cosB; （2）b=ccosA+acosC; （3）c=acosA+bcosA.
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由余弦定理得
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
所以
bcosC+ccosB=b·(a^2+b^2-c^2)/2ab+c·(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+b^2-c^2)/2a+(a^2+c^2-b^2)/2a=2a^2/2a=a
acosC+ccosA=a·(a^2+b^2-c^2)/2ab+c·(b^2+c^2-a^2)/2bc=(a^2+b^2-c^2)/2b+(b^2+c^2-a^2)/2b=2b^2/2b=b
acosB+bcosA=a·(a^2+c^2-b^2)/2bc+b·(b^2+c^2-a^2)/2bc=(a^2+c^2-b^2)/2c+(b^2+c^2-a^2)/2c=2c^2/2c=c
证毕
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
所以
bcosC+ccosB=b·(a^2+b^2-c^2)/2ab+c·(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+b^2-c^2)/2a+(a^2+c^2-b^2)/2a=2a^2/2a=a
acosC+ccosA=a·(a^2+b^2-c^2)/2ab+c·(b^2+c^2-a^2)/2bc=(a^2+b^2-c^2)/2b+(b^2+c^2-a^2)/2b=2b^2/2b=b
acosB+bcosA=a·(a^2+c^2-b^2)/2bc+b·(b^2+c^2-a^2)/2bc=(a^2+c^2-b^2)/2c+(b^2+c^2-a^2)/2c=2c^2/2c=c
证毕
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