Question

已知a1＝3,且an＝Sn-1+2∧n,求an

很想知道我的做法错在了哪里，虽然n≧2，但是以这种方法可以继续往下做吗？求大神帮解！！





Answer 1

你的这种方法是可行的，但是注意n是从2开始的。从这一步开始继续：
a2=S1+2²=3+2²=7
a2/2=7/2
∴{an/2ⁿ⁻¹}从第2项开始，是以7/2为首项，1为公差的等差数列
an/2ⁿ⁻¹=(7/2)+1·(n-2)=(3/2)+n
an=[(3/2)+n]·2ⁿ⁻¹=(2n+3)·2ⁿ⁻²
(2·1+3)·2¹⁻²=5/2≠3，a1=3不满足表达式
数列{an}的通项公式为
an=3，(n=1)
(2n+3)·2ⁿ⁻²，(n≥2)

Answer 2

首先，an=Sn-1+2^n的条件就是n必须≥2，n=1出S0就不可用。
所以a2=a1+4=7，从a2开始才能接着用这一步。
但是你用这个条件就是说a1都要满足才行。a1/2^(n-1)就是你把a1带进去了。
所以这个对于n=1时候不满足，n=2之后才满足
你做的办法是可以继续算的，但是第一个值不应该用a1而应该用a2来算（因为对n=1不成立）
a3/4-a2/2=1，这样a3=18就能成立。

Answer 3

a(n+1)=2an+2^n ，这个时候的n≥2，所以实际上是从第二项开始才是等差数列，a2=7，所以an/2^(n-1)=a2/2+1*(n-2)=7/2+n-2=3/2+n，所以an=(3/2+n)*2^(n-1)=(2n+3)*2^(n-2) (n≥2)

Answer 4

由an=Sn-S(n-1),可得 Sn-2S(n-1)=2^n →Sn/2^n-S(n-1)/2^(n-1)=1 →{Sn/2^n}是以3/2为首项,1为公差的等差数列 →Sn/2^n=(n+2)/2 →Sn=(2n+1)*2(n-1) an=Sn-S(n-1)=(2n+1)*2^(n-1)-(2n-1)*2^(n-2)=(2n+3)*2^(n-2) →a1=3,an=(2n+3)*2^(n-2),n>1 PS:刚才我也用an/2^n算了好久,但是发现a1不满足那个等差数列,也就从a2/2^2才是那个等差数列的第一项,这样难算多了.所以建议先算Sn

追问

有办法用我的方法继续算吗？

Answer 5

满意请采纳，谢谢
解：a2=1/(1-a1)=1/(1+1/3)=3/4
a3=1/(1-a2)=1/(1-3/4)=4
a4=1/(1-a3)=1/(1-4)=-1/3=a1
所以a5=a2
a6=a3
a7=a4=a1
所以这以3个为1循环
2015/3余数是2
所以a2015=a2=3/4