Question

甲乙两人进行比赛，每局甲胜的概率为p（p≥1/2）。问对甲而言采用三局两胜还是采用五局三胜有利，

每局胜负相互独立

Answer 1

三局两胜，如果甲失败的概率为
(1-p)^3+C(3,1)p(1-p)^2=1-3p+3p^2-p^3+3p-6p^2+3p^3=1-3p^2+2p^3
那么甲胜利的概率P3=1-(1-p)^3-C(3,1)p(1-p)^2=3p^2-2p^3=p^2(3-2p) (注，3-2p必大于0)
五局三胜，如果甲失败的概率为
(1-p)^5+C(5,1)p(1-p)^4+C(5，2)p^2(1-p)^3=1-5p+10p^2-10p^3+5p^4-p^5+5p-20p^2+30p^3-20p^4+5p^5+10p^2-30p^3+30p^4-10p^5=1-10p^3+15p^4-6p^5
,那么甲胜利的概率

P5=10p^3-15p^4+6p^5
P5-P3=6p^5-15p^4+12p^3-3p^2=3p^2(2p^3-5p^2+4p-1)
设函数f(p)=2p^3-5p^2+4p-1, 对函数求导f`(p)=2(3p^2-5p+2)=2(3p-2)(p-1)
p=2/3为驻点，明显为极大值。也就是当1/2<p<2/3时为增函数，2/3<p<1为减函数
f(1/2)=0,因此当1/2<p<2/3时,由于函数为增函数，因此f(p)>0，也就是P5-P3>0
f(1)=0,因此当2/3<p<1时，函数为减函数，因此f(p)>0，也就是P5-P3>0
因此无论任何P，满足1/2<P<1，P5-P3>0也就是说五局三胜更有利。
当P=1/2或P=1时，P5-P3=0，因此五局三胜和三局两胜对于甲来说是一样的。
分开说，P=1/2,两种方式甲的胜出结果都是50%。P=1，两种方式甲胜出的结果都是100%