Question

巳知三角形三边为a,b,c 设p=1/2(a+b+c) 求证 三角形面积s=根号p(p-a)(p-b)(p-c)

Answer 1

这是海伦-秦九韶公式。用于求三角形面积。

△ABC中，cosC=(a²+b²-c²)/2ab
而△ABC面积S=0.5absinC
=0.5ab√(1-cos²C)
=0.5ab√[1-(a²+b²-c²)²/4a²b²]
=0.25√[4a²b²-(a²+b²-c²)²]
=0.25√[(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)]
=0.25√[(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]
=0.25√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2，p-a=(-a+b+c)/2，p-b=(a-b+c)/2，p-c=(a+b-c)/2；
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]