Question

求矩阵A=(2 -1 1 0 3 -1 2 1 3)的特征值与特征向量

Answer 1

具体回答如图：

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 

反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

参考资料来源：百度百科——特征向量

参考资料来源：百度百科——矩阵特征值

Answer 2

如图

如图，如有疑问或不明白请追问哦！

追答

一段时间没做不小心算错了😂，导致分两个黑板。
这种题验证非常简单(做就难)，你应该会吧。

发现有错误，正在重算😭

错误在于，用第一步算特征值用的行列式，当做A的行初等变换了，忘记这个坑点。😂

第二张图更正为如下图

这次肯定对了
验算过了。
如图，如有疑问或不明白请追问哦！

如下图横线下方验算过程(提问者不会连验算都看不懂吧)

Answer 3

求特征值，就是要解方程 |λE - A| = 0，
展开可得 λ1 = λ2 = 2，λ3 = -1，
求特征向量，就是解方程组 (λE-A)X=0，其中 λ=2 或 -1，
用行初等变换，易得：

属于 2 的特征向量 η1=（1，0，4）^T，η2=（0，1，-1）^T，
属于 -1 的特征向量 η3=（1，0，1）^T。