Question

四点共圆的判定与性质

Answer 1

圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个虚宽备外角都等于它的内对角。
【如图A：四点共圆的图片】
四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：
（1）∠A+∠C=π，∠B+∠D=π（即图中∠DAB+∠DCB=π, ∠ABC+∠ADC=π）
（2）∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。
（3）∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）
（4）△ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）
（5）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）巧消
（6）EB*EA=EC*ED（割线差毁定理）
（7）EF²= EB*EA=EC*ED（切割线定理）
（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）
说明：切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理
其他定理：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

Answer 2

四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．
方法2把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．
方法3把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
方法4把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其世档一个外角等于其手饥邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
方法5把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．
方法6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确毕返返定它们共圆．
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．
判定与性质：
圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，
角ABC=角ADC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角D（外角等于内对角）
△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）
AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）