Question

数列中已知An+1和An的关系，求通项公式 例题

Answer 1

问:已知数列的递推式(及初始项或约束项)求通项这类问题的基本思想.
答:
高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.
可以看到,等差数列,等比数列的递推式:An=A(n-1)+d;An=qA(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为An+xA(n-1)+y=0.也可转化为如下(*1)
可以通过简单的转化,求得An+xA(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项An.例：
已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z （*1）
问：如何构造出等比数列，从而求出通项a(n)
解：设xa(n)-u=v(xa(n-1)-u) （*2）
与xa(n)＝ya(n-1)＋z比较，得
vx＝y，u-uv＝z
解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)
对于z为n的函数的情况,参见此处回答后给出的链接.

如果是a(n+1),a(n),a(n-1)三者的线性关系,称之为二阶线性递推式.
对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.