Question

一道八年级上的几何题，急等~~

如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，若P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

过程越详细越好（不要用四点共圆做） 大家帮帮忙
9月11日就要交了

Answer 1

呃，这题用四点共圆多好做啊。不让用的话看看下边的做法吧：

设点P的坐标是(x,y)。那么PA的斜率是k1=(y-0)/(x-4)，OP的斜率是k2=y/x。
由两直线夹角公式，得(k1-k2)/(1+k1*k2)=tan(45度)。
也就是k1-k2=1+k1*k2。
也就是(y-0)/(x-4)-y/x=1+((y-0)/(x-4))*(y/x)。
去分母，合并同类项，得4y=x^2-4x+y^2。
移项，得-(y^2-4y)=x^2-4x。
也就是，(y^2-4y)/(x^2-4x)=-1。

另一方面，BP的斜率是k3=(y-4)/(x-0)。
所以k1*k3=(y-0)/(x-4)*(y-4)(x-0)。
通分，得k1*k3=(y^2-4y)/(x^2-4x)=-1。
所以PA和PB垂直。

Answer 2

将点P绕点O逆时针旋转90°至点Q，
连结OQ、BQ、PQ
∴△POQ是等腰直角三角形
∴∠PQO＝45°，OP＝OQ
∵∠AOP＋∠AOQ＝90°＝∠BOQ＋∠AOQ
∴∠AOP＝∠BOQ
∵OA＝OB
∴△AOP≌△BOQ
∴∠OQB＝∠OPA＝135°
∴∠PQB＝∠PQO＋∠OQB＝180°
∴P、Q、B在一条直线上
即点Q在PB上
∴∠OPB＝45°
∴∠APB＝90°
∴AP⊥BP

Answer 3

设点P的坐标是(x,y)。那么PA的斜率是k1=(y-0)/(x-4)，OP的斜率是k2=y/x。
由两直线夹角公式，得(k1-k2)/(1+k1*k2)=tan(45度)。
也就是k1-k2=1+k1*k2。
也就是(y-0)/(x-4)-y/x=1+((y-0)/(x-4))*(y/x)。
去分母，合并同类项，得4y=x^2-4x+y^2。
移项，得-(y^2-4y)=x^2-4x。
也就是，(y^2-4y)/(x^2-4x)=-1。

另一方面，BP的斜率是k3=(y-4)/(x-0)。
所以k1*k3=(y-0)/(x-4)*(y-4)(x-0)。
通分，得k1*k3=(y^2-4y)/(x^2-4x)=-1。
所以PA和PB垂直。