Question

求极限limx→0+,xsin(1/x) 为什么不是1

Answer 1

当x→0+的时候，x的极限是0，是个无穷小。而sin（1/x）是有界函数。

根据有界函数和无穷小相乘，结果还是无穷小的定理。

所以当x→0+的时候，xsin（1/x）还是无穷小，极限是0而不是1。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

扩展资料

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

Answer 2

当x→0+的时候，x的极限是0，是个无穷小
而sin（1/x）是有界函数。
根据有界函数和无穷小相乘，结果还是无穷小的定理
所以当x→0+的时候，xsin（1/x）还是无穷小，极限是0而不是1
注意，当x→0+的时候，无论是1/x，还是sin（1/x），都不是无穷小，是不能将sin（1/x）等价为1/x，不是无穷小，怎么能等价？

追问

如果是趋向0呢

追答

一样的，趋近于0（不管是左趋近于0，还是右趋近于0）的时候，很明显，1/x是无穷大而不是无穷小，sin（1/x）是无限震荡而无极限，所以这里都不是无穷小，自然不能等价。
没有等价，怎么可能结果为1呢？
所以只能用无穷小乘有界函数还是无穷小的定理来做，极限是0

追问

所以sin1/x不能等价成1/x？

追答

要等价，必须先看看是不是无穷小。所以本来你的提问，就是有错误的。
你问sin1/x不能等价成1/x？，这个问法就是不合符数学要求的。

为什么呢？sin（1/x）和1/x是不是无穷小，要看x趋近于啥值。
当x→0的时候，两个都不是无穷小，这时候两个都不能相互等价。
而当x→∞的时候，两个都是无穷小，这时候，sin（1/x）和1/x就等价了。
所以只有当x→无穷大的时候，sin（1/x）和1/x才是等价无穷小。
不说x趋近于啥值，就直接谈能不能等价，这本身就是错误的做法。

就好比sinx和x，也只是当x→0的时候，才是等价无穷小；当x趋近于其他数，或趋近于无穷大的时候，sinx和x不等价

追问

那lim X-0 xcotx可以等价？

追答

lim（x→0）xcotx=lim（x→0）x/tanx
而当x→0的时候，tanx和x是等价无穷小，所以lim（x→0）xcotx=lim（x→0）x/tanx=1

Answer 3

你是不是这么解的
xsin(1/x)
=sin(1/x)/（1/x)
=1
注意这个有个条件的，那就是1/x→0
题中x→0，而1/x→无穷
条件不成立，不能使用sin(1/x)/（1/x)=1
所以
limx→0+,
xsin(1/x) 不等于1

追问

那个sin1/x不可以等价无穷小吗

追答

那个要有个前提条件，那就是sin1/x中的1/x→0

追问

就是它这个是趋向于无穷吗