Question

设a属于R，函数f(x)=1/2x^2+alnx (1)若f(x)在【1，e】上为增函数，求a的取值范围 （2）若a=1,a<=x<=e,证明

f(x)<2/3x^3

Answer 1

（1）f(x)=1/2x^2+alnx

则f'(x)=x+a/x (x>0)

f(x)在【1，e】上为增函数

则f'(x)在【1，e】上恒大于等于0

很明显，a≥0时，x+a/x>0（因为x是正数），满足条件

当a<0时，因为x+a/x在【1，e】上递增，所以等价条件就是f'(1)≥0

即1+a≥0

所以-1≤a<0

综上，a≥-1

（2）a=1

则f(x)=1/2x^2+lnx

设函数g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3

则g'(x)=x+1/x-2x^2

g'(x)>0 （1<=x<=e）

则x+1/x-2x^2>0

-2x^3+x^2+1>0

-2(x^3-1)+(x^2-1)>0

-2(x-1)(x^2+x+1)+(x+1)(x-1)>0

(1-x)(2x^2+x+1)>0

1-x>0

x<1

因为x≥1

所以1<=x<=e上，g（x）递减

所以g（x）≤g（1）=1/2-2/3=-1/6<0

所以g（x）=f(x)-2/3x^3<0

所以f(x)<2/3x^3

Answer 2

1）、对原函数求导，得
f'(x)=x+a/x,欲使f(x)在【1，e】上为增函数，须
f'(x)>=0，（1<=x<=e),代入x=1,x=e
解得a>=-1(取其中的大值-1）
2）、提供思路：
比较两个函数在a<=x<=e的值域。
只须前者的最大值小于后者的最小值即可证明
还要利用f'(x)

Answer 3

1 只需 函数导数在【1，e】 恒大于0 就可以 a》0 成立 a小于0时导数是个单增函数 -1《a ； 所以 有 a》-1
2 第二问 g（x）=f(x)-2/3x^3 证g（x）在a=1,a<=x<=e 恒小于0 g（x） 球两次导 就发现了