Question

线性代数求详解

Answer 1

17. |λE-A| =
|λ-1 -4 -2|
|0 λ+3 -4|
|0 -4 λ-3|
= (λ-1)(λ^2-9-16) = (λ-1)(λ-5)(λ+5)
特征值 λ = 1，5, -5

对于 λ = 1， λE-A =
[0 -4 -2]
[0 4 -4]
[0 -4 -2]
初等行变换为
[0 1 -1]
[0 0 1]
[0 0 0]
得特征向量 (1 0 0)^T;

对于 λ = 5， λE-A =
[4 -4 -2]
[0 8 -4]
[0 -4 2]
初等行变换为
[4 0 -4]
[0 4 -2]
[0 0 0]
得特征向量 (2 1 2)^T;

对于 λ = -5， λE-A =
[-6 -4 -2]
[ 0 -2 -4]
[ 0 -4 -8]
初等行变换为
[-1 0 1]
[ 0 1 2]
[ 0 0 0]
得特征向量 (1 -2 1)^T.

取特征值矩阵∧ = diag（1， 5，-5）
特征向量矩阵 P =
[1 1 1]
[0 2 -2]
[0 1 1]
则 P^(-1) =
[1 0 -1]
[0 1/4 1/2]
[0 -1/4 1/2]
则 P^(-1)AP = ∧,
A = P∧P^(-1),
A^100 = P∧P^(-1)P∧P^(-1)P∧P^(-1)......P∧P^(-1)P∧P^(-1)
=P∧^100P^(-1) = P diag(1, 5^100, 5^100) P^(-1)
A^100 =
[1 0 -1+5^100]
[0 5^100 0]
[0 0 5^100]

Answer 2

很基础的 对角化 就可以解决了