Question

求定积分2x^2+xcosx/1+根号下1-x^2

求定积分2x^2+xcosx/1+根号下1-x^2

Answer 1

∫(-1<x<1)[2x^2+xcosx/1+(1-x^2)^1/2]dx

=∫(-1<x<1)[(2x^2/1+(1-x^2)^1/2) +

(xcosx/1+(1-x^2)^1/2)]dx (对称区间积分时,奇零偶倍（定积分函数）)

=∫(-1<x<1)[2x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx

=4∫(0<x<1)[x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx(对称区间积分时,偶函数为2倍的第一象限,2x^2的系数2也提到前面)

=4∫(0<x<π/2)[sint^2/(1+(1-sint^2)^1/2)]costdt

=4∫(0<x<π/2)[cost-cost^2)dt

=4∫(0<x<π/2)[cost-(1+cos2t)/2)dt

=4-π

扩展资料：

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

Answer 2

∫(-1<x<1)[2x^2+xcosx/1+(1-x^2)^1/2]dx(对称区间积分时,奇函数为0)
=∫(-1<x<1)[2x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx
=4∫(0<x<1)[x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx(对称区间积分时,偶函数为2倍的第一象限)
=4∫(0<x<π/2)[sin^2t/1+(1-sin^2t)^1/2]costdt
=4∫(0<x<π/2)[cost-cos^2t)dt
=4-π

Answer 3

引用Du知道君的回答：
∫(-1<x<1)[2x^2+xcosx/1+(1-x^2)^1/2]dx(对称区间积分时,奇函数为0)
=∫(-1<x<1)[2x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx
=4∫(0<x<1)[x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx(对称区间积分时,偶函数为2倍的第一象限)
=4∫(0<x<π/2)[sin^2t/1+(1-sin^2t)^1/2]costdt
=4∫(0<x<π/2)[cost-cos^2t)dt
=4-π

∫(-1<x<1)[2x^2+xcosx/1+(1-x^2)^1/2]dx
=∫(-1<x<1)[(2x^2/1+(1-x^2)^1/2) +
(xcosx/1+(1-x^2)^1/2)]dx (对称区间积分时,奇零偶倍（定积分函数）)
=∫(-1<x<1)[2x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx
=4∫(0<x<1)[x^2/1+(1-x^2)^1/2]dx(对称区间积分时,偶函数为2倍的第一象限,2x^2的系数2也提到前面)
=4∫(0<x<π/2)[sint^2/(1+(1-sint^2)^1/2)]costdt
=4∫(0<x<π/2)[cost-cost^2)dt
=4∫(0<x<π/2)[cost-(1+cos2t)/2)dt
=4-π