Question

数学求证题！！！高手快来！！！

对任何正整数n，求证：
n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除。 [n/3]: 代表n/3的整数部分。例如：[4.3]=4.

Answer 1

当n=1，2，3时，原式=0，可被18整除

当n=3k，K>1且是正整数
原式=3k(3k-1)(3k-2)-6[3k/3]
=3k(9k²-9k+2)-6k
=3k(9k²-9k+2-2)
=3k(9k²-9k)
=27k²(k-1)
∵当K>1且是正整数时，k²和k-1中有且只有一个数为偶数
∴当n=3k，原式可被18整除

当n=3k+1时，K>1且是正整数
原式=(3k+1)3k(3k-1)-6[(3k+1)/3]
=3k(9k²-1)-6k
=3k(9k²-3）
=9k(3k²-1）
∵当K>1且是正整数时，k和3k²-1中有且只有一个数为偶数
∴当n=3k+1，原式可被18整除

当n=3k+2时，K>1且是正整数
原式=（3k+2)(3k+1)3k-6[(3k+2)/3]
=3k(9k²+9k+2)-6k
=3k(9k²+9k+2-2)
=27k²(k+1)
∵当K>1且是正整数时，k²和k+1中有且只有一个数为偶数
∴当n=3k+2，原式可被18整除

∴对任何正整数n，n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除

Answer 2

分类讨论。n=3k的时候，原式=3k(3k-1)(3k-2)-6k=3k(9k^2-9k+2-2)=3k(9k^2-9k)=27[k^2](k-1)。其中，27是9的倍数，然后k^2与k-1必然一奇一偶，所以[k^2](k-1)是2的倍数，所以整体27[k^2](k-1)是18的倍数。其中k是正整数。
继续，当n=3k-1的时候，原式=(3k-1)(3k-2)(3k-3)-6(k-1)=3(k-1)(9k^2-9k+2-2)=3(k-1)(9k^2-9k)=27[(k-1)^2]k。其中，27是9的倍数，(k-1)^2与k必然一奇一偶,所以[(k-1)^2]k是2的倍数，所以整体27[(k-1)^2]k是18的倍数，其中k是正整数。
最后一种情况，当n=3k-2的时候，原式=(3k-2)(3k-3)(3k-4)-6(k-1)=3(k-1)(9k^2-18k+8-2)=3(k-1)(9k^2-18k+6)=9(k-1)(3k^2-6k+2)。其中，9是9的倍数，如果k是奇数，那么(k-1)是偶数，所以(k-1)(3k^2-6k+2)是2的倍数，所以整体9(k-1)(3k^2-6k+2)是18的倍数。如果k是偶数，那么(3k^2-6k+2)是2的倍数，所以整体9(k-1)(3k^2-6k+2)是18的倍数，其中k是正整数。
综上：n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除。