Question

两个实数中间必有有理数怎么证明

Answer 1

证明：设这两个有理数为a,b,且alt;b.
构造无穷数列{c(n)}，通项公式为
c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
(1)先证明{c(n)}所有项都在(a,b)内.
对任意n属于N+,有
0lt;1/(2^n)lt;=1/2.
又因为 0lt;根号2lt;2,
所以 0lt;(根号2)/(2^n)lt;1,
所以 alt;a+(根号2)*(b-a)/(2^n)lt;b.
即 c(n)属于(a,b).
由n的任意性知，{c(n)}所有项都在(a,b)内.

(2)再证明{c(n)}各项不等.
对任意m,n属于N+,且m不等于n,有
2^m不等于2^n.
所以 a+(根号2)*(b-a)/(2^m)不等于a+(根号2)*(b-a)/(2^n).
由m,n的任意性知，{c(n)}各项不等.

(3)最后证明{c(n)}所有项都是无理数.
因为对任意n属于N+，2^n是有理数,
且 根号2是无理数,b-a不等于0,
所以 c(n)=a+(根号2)*(b-a)/(2^n) 是无理数.

综上,a,b间有无穷多个无理数
c(1),c(2),
即任意两个有理数之间有无穷多个无理数.

Answer 2

证：令x∈R，y∈R，且x<y
y-x>0成立，因此一定存在一个正整数 n
使 n(y-x)>1
根据阿基米德公理，
一定存在正整数m1，m2，使m1>nx，m2>-nx
因此一定存在一个正整数m （-m2<=m<=m1）
使 m-1<=nx<m 成立
在通过比较不等式
nx<m<=1+nx<ny
所以
x<m/n<y ……m，n为正整数
所以两个实数x，y之间一定存在有理数q=m/n