Question

如何证明两实数之间必有一个无理数

Answer 1

设这两个数是a和b，不妨假定b>a，并记L=b-a。
若a,b都是有理数，显然a+L/sqrt(2)就是a和b之间的一个无理数。
若a,b其中只有一个是无理数，那么(a+b)/2就是a和b之间的一个无理数。
若a和b都是无理数，一定存在正整数n，使得 L>1/10^n，那么a+1/10^n就是a和b之间的一个无理数。

其实学过实变函数就知道，有理数是零测度的，无理数是连续势的，因此从基数的角度看，任意两点之间，无理数比有理数多得多。

Answer 2

设这两个数是a和b,不妨假定b>a,并记L=b-a.若a,b都是有理数,显然a+L/sqrt(2)就是a和b之间的一个无理数.若a,b其中只有一个是无理数,那么(a+b)/2就是a和b之间的一个无理数.若a和b都是无理数,一定存在正整数n,使得 L>1/10^n,那么a+1/10^n就是a和b之间的一个无理数.

Answer 3

根据数的稠密性，数轴上的点与实数成一一对应关系。两实数在数轴上对应的点之间还有无数个点。之间必有一个无理数。

Answer 4

设这两个数是a和b，不妨假定b>a，并记L=b-a。
若a和b都是无理数，一定存在正整数n，使得 L>1/10^n，那么a+1/10^n就是a和b之间的一个无理数。

Answer 5

两实数之间线段上的点的基数(势)是阿力夫1,
所有的有理数的基数(势)仅是阿力夫0
故两实数之间必有一个无理数
见 豪斯道夫 集论