Question

如何证明两个不等实数之间存在无理数

Answer 1

证明：　　设α,β∈r,且α1,即β-α>(1/n)
　　任意取定有理数γ(0)0,a-γ(0)》0,故由阿基米德性,存在m∈n,使得γ(0)+(m/n)>α.可见,数列{γ(0)+(m/n)}中总有一项大于a.　　设
γ(0)+(n(0)/n)
为此数列第一个大于α的项,于是γ(0)+(n(0)-1)/n
≤
α,故
　　γ(0)+(n(0)/n)-β≤a-(n(0)-1)/n+(n(0)/n)-β
　　=a+(1/n)-β

Answer 2

因为对任意两个实数a,b,区间(a,b)是不可列的,而有理数集是可列的,所以如果(a,b)之间都是有理数的话,根据可列集的真子集仍然可列的性质,就产生了矛盾.所以(a,b)之间必定有无理数.