Question

高等数学积分体积问题

高等数学积分体积问题就是比如过一个圆的方程，来求饶y轴旋转后的体积，就是积分右半圆-积分左半圆，那么如果是sinx呢？怎么来划分，圆可以前面加个负号就是左边半圆弧，加个正号就是右边，那么sin该怎么分呢？我知道我描述的可能不清楚，麻烦大神认真的看看，帮我下

Answer 1

从数学上说，体积和面积也有正负之分。先理解面积，比如sinx，从0积分到2pi，有向面积为0，但一般如果认为x轴下面的面积也是正的话，面积应该为4.

Answer 2

V = π∫<-1,1>[1+√(1-y^2)]^2 - [1-√(1-y^2)]^2]dy
. = 4π∫<-1,1>√(1-y^2)dy = 8π∫<0,1>√(1-y^2)dy (令y=sint)
= 8π∫<0,π/2>(cost)^2dt = 4π∫<0,π/2>(1+cos2t)dt
= 4π[t+(1/2)sin2t]<0,π/2> = 2π^2