Question

求复变函数1.∮cosz/z+2 dz C:|z|=1 2.∮1/z^2(z+2) dz C:|z|=1 3.∮

求复变函数1.∮cosz/z+2 dz C:|z|=1 2.∮1/z^2(z+2) dz C:|z|=1 3.∮e^z/(z-1)(z-2) dz C:|z|=1/2 C:|z|=3/2 C:|z|=5/2

Answer 1

1. 被积函数的奇点是z=-2，所以在积分路径C内解析，因此积分为0.

2. 奇点是z1=z2=0，z3=-2，其中后者在C之外。利用高阶导数公式，

   
   

3. 

   奇点是z1=1，z2=2，

   ①在C：|z|=1/2内被积函数解析，所以积分为0

   ②z1在C：|z|=3/2内，z2在C外，利用柯西积分公式，

   
   

   

③z1和z2均位于C：|z|=5/2之内，构造复合闭路：

其中L把圆周分成两部分，并将z1和z2分隔开。这样一来，C1和L，L和C2分别构成闭合回路，并且C=(C1+L)+(L+C2)【注：这里指有向曲线】。对两个回路分别应用柯西积分公式：

进而得到：

【注：以上提到的“在……路径C内解析”均指在积分路径C及其所包围的区域上解析，即在闭区域上解析。这里是简略表达】