Question

怎么证明全微分里的o(ρ)是比△x高阶的无穷小

Answer 1

答:这是同济教材的内容。其实根据定义，你可以理解：o(ρ)一定是比Δx和Δy高阶的无穷小，也就是说，在全微分中，当Δx，Δy→0时，必有：lim(Δx→0)o(ρ)/Δx=0lim(Δy→0)o(ρ)/Δy=0lim(Δx,Δy→0)o(ρ)/Δx和Δy=0在最后一个式子的分母中，想要表达的是含有Δx和Δy的类似于第一个极限和第二个极限的一阶表达式，显然，Δx可以理解成x方向的分量，Δy可以理解成y方向的分量，那么自然想到用极坐标来表示，包含Δx和Δy的分量，即：ρ=√[(Δx)²+(Δy)²]，这就是由来！当然了，还有其他的定义方式，这个没有统一的限制，但是，不管哪种方式，只要能说明高阶的作用就行了！

追问

o(ρ)是比ρ高阶的无穷小，但是ρ不是大于△x吗？怎么说明o(ρ)是比△x高阶的无穷小呢

Answer 2

o(x)是比ρ高阶无穷小o(x)/ρ=o(x)/x*x/ρ前一项无穷小后一项有界小于1因此o(x)→o(ρ)。反之o(ρ)/x=o(ρ)/ρ*ρ/x 此时令x=o(y)后一项为y/x，不存在。o(ρ)不一定是x的无穷小。事实上，当y=0时才有ρ=x。