Question

关于一道高数证明题，函数f(x)在［a,b］上存在二阶可导，且f(a)=f(b)=0;

证明：对每个x∈（a,b）,都存在ξ∈（a,b）,使得的f(x)=f''(ξ)/2*（x-a）(x-b)。

Answer 1

对任意x∈(a,b)，令g(t)=f'(t)(x-a)(x-b)-2tf(x) （t是变量）
则g(t)在[a,b]上连续可导，且g(a)=g(b)=0 (因为f(a)=f(b)=0,所以f'(a)=f'(b)=0）
根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0
f''(ξ)(x-a)(x-b)-2f(x)=0
f(x)=f''(ξ)(x-a)(x-b)/2
证毕
搬运 @crs0723

Answer 2

特特屠夫额嘟嘟嘟嘟嘟嘟特特