Question

高数问题求解

1.（1）

Answer 1

洛必达法则的使用条件： 1、分子分母都必须是可导的连续函数； 2、分子与分母的比值是0/0，或者是∞/∞，如果是这两种情况之一，就可以使用。使用时，是分子、分母，各求各的导数，互不相干。 各自求导后，如果依然还是这两种情况之一，继续使用洛必达法则，直到这种情况消失，然后代入数值计算。1/∞ = 0，∞/常数 = ∞。等价无穷小的代换： 1、如果只是简单的比值关系，才可以替代，例如当x→0时，ln(1+x) / x； 2、如果分式的分子分母中有加减运算，一般都不可以代换，例如，分子上sinx - x，分母上x2，当x→0时，就不可以代换； 3、简单的加减运算也不可以代入，如1/sin2x - 1/tan2x，当x→0时，就不可以代换。欢迎追问。

Answer 2

解：将原方程整理为，dy/dx=(y-2x)/(2y-x)。令y=ux，代入原方程，有u+u'x=(u-2)/(2u-1)。
经再整理，∴(2u-1)du/(u²-u+1)=-2dx/x。两边积分，有ln丨u²-u+1丨=-2ln丨x丨+ln丨c丨。∴u²-u+1=C/x²。
将u=y/x代入，∴其通解为，y²-xy+x²=C。其中，C为常数。
供参考。

Answer 3

(1). 微分方程(2x-y)dx+(2y-x)dy=0的通解为：u(x,y)=x²-xy+y²=C,
(2). f'(x)=2f(x); df(x)/f(x)=2dx; ∴lnf(x)=2x+lnc，∴f(x)=ce^(2x);
(3).通解为：ln∣(y-1)/y∣=x+c；x=0时y=1，故此特解不存在(c=-∞)。
(4).形如 y'=f(x)φ(y)的方程谓之可分离变量的微分方程。
(5).y'=(3/4)x²+x;