Question

设数列{xn}满足xn＞0，且limXn+1/Xn=1/2（n→∞），证明limXn=0

设数列{xn}满足xn＞0，且limXn+1/Xn=1/2（n→∞），证明limXn=0见图，求大神帮忙解答怎么证明~

Answer 1

选A，r=1/2，详情如图所示

Answer 2

我是这么想的若Xn（n趋于∞）极限不为0，且可以通过单调有界证明了极限存在，那Xn极限为C.那么Xn+1（n趋于∞）极限等于Xn的极限=C，那么Xn/Xn+1极限就等于1，不符合题设，则Xn极限为0

Answer 3

补充一下最多赞的答案：
有小伙伴说：“Xn等于0还怎么做分母呢？”

---

1. 首先，数列单调有界，得出limXn=limXn+1=A（极限存在！）;

2. 根据数列极限运算规则，第三条：
   ”若limXn不为零，则lim(Xn+1/Xn)=limXn+1/limXn”——A/A=1。

而题中为1/2。那么，使第三条失效，题目才能成立。即，只有limXn=0。满足原题。

总结：原题与极限运算第三条冲突，那我们使第三条失效（破坏其成立条件）。也就是说“让原式只能通分后求极限，不让它能拆开分别算极限”。即可满足原题。

Answer 4

Answer 5

如果是考研数学，最合理的解答是：这就是个常识。
朗贝尔法，当u＞0，且u的n+1项比n项的极限＜1，
则对应通项级数收敛，
而级数收敛必要条件是通项极限为0

有些题其实比划一下，猜一下也能有答案