Question

线性代数对角化判断

用特征值判断的方法。
能列出类型吗？哪些情况可以对角化
哪些不能。书上的k重根什么的，R（A）=n-k。没看懂？

Answer 1

对于n阶矩阵，能否对角化，关键在能否找到n个不相关的特征向量（这个n个特征向量可构成转化矩阵）。如果矩阵的n个特征值都不相同，那么矩阵一定可以对角化，因为不同特征值对应的特征向量一定无关。但是如果存在多重特征值（可以理解成部分特征值想同），那就要看那些多重的特征值能否找到对应数量且不相关的特征向量了。例如存在三重特征值，那么这三重特征值能否找到三个无关的特征向量（解方程组的知识，基础解系个数），决定了它是否能对角化。

Answer 2

仅仅根据特征值是不能完全判断可对角化的, 只有某些特殊情况可以.
可对角化本质是存在n个不相关的特征向量. (其余所有讨论都基于这个基本性质)
特征向量有这样的性质: 对应不同特征值的特征向量线性无关.(如果存在n个不同的特征值, 肯定可以对角化).

所以现在就主要关注对于同一个特征值. 如果一个特征值出现了k次(k重根), 那么对应于它必须要有k个特征向量. (好像叫什么代数重数,几何重数什么的,本质就是在说这件事)

Answer 3

n阶矩阵可以对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。如果要回答你的用特征值的重数来判断的话，那就是矩阵的每一个特征值的重数都等于其特征子空间的维。
特征值的重数称为代数重数，对应的特征子空间的维数称为几何重数。
故矩阵可以对角化的充要条件之一是矩阵的每一个特征值的代数重数都等于其几何重数。
所以，如果n阶矩阵A某个特征值a是k重的，那么当其对应的特征矩阵aE-A的秩r(aE-A)=n-k时，这时方程组(aE-A)X=0的基础解系中恰含有k个解向量，即解空间的维数为k，也就是说特征值a的特征子空间的维数为k.当矩阵的每一个特征值都满足上述条件时，矩阵就可以对角化。

Answer 4

首先，矩阵有两种，对称的，不对称的
对称的
1.对称矩阵一定可以对角化（因为它的所有特征值对应的特征向量，相互间都是线性无关的）
2.对称矩阵的对角化，可以用PtAP=Λ,也可以用P-1 A P=Λ
非对称的
1.重根的重数 等于 重根对应的线性无关特征向量个数（对角化条件）
2.只能用P-1 A P=Λ 求对角矩阵

考虑到你应该是初学者，现在暂时先这么记忆

追答

有不明白的可以追问

Answer 5

以3阶矩阵为例(考试包括考研一般也都考3阶的)，特征值的情况有三种:一.三个都是单根，由于矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关，所以就有3个线性无关的特征向量，可以对角化。二.一个2重根带一个单根，这时能不能对角化就看2重根，如果关于它有两个线性无关的特征向量，就可以对角化，如果关于它只有一个特征向量，就不能对角化，跟那个单根没关系。三.如果特征值是一个3重根，那只有在存在3个线性无关得特征向量时才能对角化，即λE–A是零矩阵，从而A是数量矩阵，也就是这种情况下只有数量矩阵才可以对角化。