Question

f(z)=cos(z/z-1)在圆环域0＜｜z-1｜＜∞展开成洛朗级数

Answer 1

因为
1<|z-1|<+∞
所以
0<|z-1|^{-1}<1
记x=(1-z)^{-1}，则
1/z(1-z)^2 =((1-x^{-1})(x^{-2}))^{-1}
=(x^2)(x/x-1)
=-x^3(1/1-x)
=-x^3(1+x+x^2+x^3+......)
在用x=(1-z)^{-1}代入就得到关于变量z的级数了，也就是
=-(1-z)^{-3}(1+(1-z)^{-1}+(1-z)^{-2}+(1-z)^{-3}+......)
注：这种方法具有一般性和简洁性。如果题目是f(z)=1/z^2(1-z)^2，也可以用，不过这个时候，就要利用逐项求导的法子来算1/(1-x)^2的幂级数展开了。总而言之，把问题转化为
1/(1-x)^n，|x|<1的幂级数展开
是不二法门。