Question

一道用微分中值定理的证明

Answer 1

关键还是确定辅助函数 待证式子变形后有
f(m)'/f(m)=1/(m+1)
。先把m换成x， 两边分别对x积分，有
lnf(x)=ln(1+x)+c(因为是不定积分所以最后结果含一个常数)得到f(x)=(1+x)(e^c)
所以令f(x)=f(x)/(x+1)=e^c
(上述是确定辅助函数的一种方法，所以记住思路就行了)
由已知
f(0)=f(0)/1 ,
f(1)=f(1)/2=2f(0)/2=f(0)
,由罗尔定理(微分中值定理的特殊情况),在(0,1)内至少存在一点m，使得f(m)'=[
f(x)/(x+1
])'|点m处=0
得到待证式子