Question

用定积分求（椭圆一般形式，就是x∧2/a∧2的那个）的面积 步骤不用参数方程,不换元

Answer 1

x²/a²+y²/b²=1
y=b√(1-x²/a²)
第一象限
S=[0,a]∫4b√(1-x²/a²)dx
椭圆面积为第一象限面积的四倍
=[0,a]4b/a∫√(a²-x²)dx
可查询积分表，也可用以下分部积分法手算
=4b/a
*
x√(a²-x²)|[0,a]
+
[0,a]4b/a∫x²/√(a²-x²)dx
=[0,a]4b/a∫[a²-(a²-x²)]/√(a²-x²)dx
=[0,a]4b/a∫a²/√(a²-x²)dx-[0,a]4b/a∫√(a²-x²)dx
注意这里循环出现了原式
=4abarcsin(x/a)|[0,a]-S
=4ab*π/2-S
移项后两边同时除以
2
=πab

Answer 2

饿，不用三角换元还真的不好做啊，不用参数方程我倒是会。
标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
由对称性，不妨只求第一象限面积的四倍
此时
y=b√(1-x^2/a^2)
所以
S=4∫[0→a]b√(1-x^2/a^2)dx
=4b∫[0→a]√(1-x^2/a^2)*ad(x/a)
=4ab∫[0→a]√[1-(x/a)^2]d(x/a)
设x/a=sinθ
=4ab∫[0→π/2]√[1-(sinθ)^2]dsinθ
=4ab∫[0→π/2](cosθ)^2dθ
=4ab∫[0→π/2](1+cos2θ)/2dθ
=ab∫[0→π/2](1+cos2θ)d2θ
=ab*(2θ+sin2θ)[0→π/2]
=πab
希望对楼主有所帮助，望采纳！

Answer 3

望采纳;2]
=πab
希望对楼主有所帮助;a^2)*ad(x/。
标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
由对称性，不妨只求第一象限面积的四倍
此时
y=b√(1-x^2/a^2)

Answer 4

其中
∫[0,a]
√[1-(x/a)²]
d(x/a)
=
∫[0,1]
√(1-y²)
dy
令
y
=
x/a
=
π/4
定积分的几何意义，
1/4
倍的单位圆面积