Question

(x-y+1)y‘=1求微分方程通解。求详细过程？？？？

Answer 1

(x-y+1)dy/dx=1
得：dy/dx=1/(x-y+1)
则：dx/dy=x-y+1，
（1）
将x看作函数，y看作自变量
令z=x-y+1，则dz/dy=dx/dy-1
因此（1）化为：dz/dy+1=z
分离变量得：dz/(z-1)=dy
两边积分得：ln(z-1)=y+lnC
即：z-1=Ce^y
将z=x-y+1代入得：x-y=Ce^y
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Answer 2

特征方程为t^2-t=0,得t=0,1
齐次方程通解为y1=c1+c2e^x
设特解为y*=x(ax+b)=ax^2+bx
y*'=2ax+b
y*"=2a
代入原方程：2a-2ax-b=x-1
对比系数：-2a=1
,
2a-b=-1
解得：a=-1/2,
b=0
即y*=-1/2x^2
因此原方程的解为：y=y1+y*=c1+c2e^x-1/2x^2