Question

(x-y+ 1)dx/dy=1,求微分方程

Answer 1

求微分方程 (x-y+1)dx/dy=1的通解
解：dy/dx=x-y+1.........①；先求齐次方程 dy/dx=-y的通解：
分离变量得：dy/y=-dx；积分之得：lny=-x+lnc₁；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)；将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-x)...........②
对①取导数得：dy/dx=-ue^(-x)+e^(-x)(du/dx).........③
将②③代入①式得：-ue^(-x)+e^(-x)(du/dx)=x-ue^(-x)+1;
消去同类项得：e^(-x)(du/dx)=x+1；再次分离变量得：du=(x+1)e^xdx;
积分之得 u=∫(x+1)e^xdx=∫(x+1)d(e^x)=(x+1)e^x-∫e^xdx=(x+1)e^x-e^x+c=xe^x+c;
代入②式即得原方程的通解为：y=(xe^x+c)e^(-x)=x+ce^(-x);

Answer 2

dy/dx=x-y+1

令x-y+1=u,y=x+1-u
则dy/dx=1-du/dx
代入原方程得1-du/dx=u
即du/dx=1-u
du/(u-1)=-dx
ln|u-1|=-x+C
u-1=C e^(-x)
故x-y=C e^(-x)

Answer 3

【第六卷：七言律诗】