Question

用二重积分算体积

Answer 1

先计算两球的交线，易得：交线为z=r/2，平面z=r/2将这个公共部分分为两部分，这两部分是对称的，因此我们只求上半部分，然后2倍即可。
将z=r/2代入球面方程得：x²+y²=3r²/4
因此本题转化为计算球面x²+y²+z²=r²被圆柱面x²+y²=3r²/4截出的球冠体积，然后2倍。
球面x²+y²+z²=r²方程化为：z=√(r²-x²-y²)
A1=∫∫√(r²-x²-y²)dxdy
积分区域为：x²+y²≤3r²/4
用极坐标
=∫∫ρ√(r²-ρ²)dρdθ
=∫[0---->2π]dθ∫[0---->√3r/2]
ρ√(r²-ρ²)dρ
=2π∫[0---->√3r/2]
ρ√(r²-ρ²)dρ
=π∫[0---->√3r/2]
√(r²-ρ²)d(ρ²)
=-(2/3)π(r²-ρ²)^(3/2)
|[0---->√3r/2]
=(2/3)π[r³-(r²-3r²/4)^(3/2)]
=(2/3)π*(7/8)r³
=(7/12)πr³
A=2A1=(7/6)πr³

Answer 2

求球体x²
+
y²
+
z²
≤
4a²被圆柱面x²
+
y²
≤
2ax(a
>
0)所截得的立体的体积。
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由对称性，原本体积
=
4倍在第一挂限的体积
取f(x，y)为√(4a²
-
x²
-
y²)
v
=
∫∫d
√(4a²
-
x²
-
y²)
dxdy
=
∫(0，π/2)
dθ
∫(0，2acosθ)
√(4a²
-
r²)
r
dr
=
∫(0，π/2)
(-
1/2)
*
(2/3)[(4a²
-
4a²cos²θ)^(3/2)
-
8a³]
dθ
=
∫(0，π/2)
(-
1/3)
*
8a³
*
(sin³θ
-
1)
dθ
=
(-
8a³/3)
*
(2/3
-
π/2)
=
(4/9)(3π
-
4)a³
于是所求体积为4v
=
(16/9)(3π
-
4)a³

Answer 3

算体积是其得要功能，但还有如计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。