Question

高数 试证：当X>0时， 有1/1+x<ln（1+x/x)<1/x 详细步骤和讲解

Answer 1

证明：∵x＞0
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x，x+1]连续
2）开区间（x，x+1）可导
从而，由微分中值定理知：
在开区间（x，x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]，其中，x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x

Answer 2

证明：∵x＞0
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x，x+1]连续
2）开区间（x，x+1）可导
从而，由微分中值定理知：
在开区间（x，x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]，其中，x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x
追问：
怎么从两端分母看出的区间啊
追答：
三步走：观察，猜想，验证。
如前所述，不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
首先，观察中间式子是ln（1+x/x)，变形得：ln（x+1）-lnx，可见都是对数函数，猜想是对数函数求导，记为f（u）=lnu。
以下验证。
求导得：f′(u)=1/u①
再看不等式两端，其式子分别为：1/x+1,1/x②
显然，将x与x+1分别代入①式即得②式。
追问：
不好意思
在问一下
不等号两边的式子为什么是求导后的结果
怎么看出来不等式两边是不是被求到过了呢
追答：
因为要用微分中值定理，即存在c∈(a,b)使得f′(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)，
所以其要领在于用端点值替换相应位置的c，而c含于f′（c）的表达式中。
你不妨再找几个例题看看，对比之后体会更有益于理解。
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