Question

证明：当x>0时,1/1+x<ln1+x/x<1/x

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Answer 1

最简单的方法就是：令f(x)=ln(1+x)-x，则f(0)=0 f ' (x)= -x/(1+x) <0
故 f(x)<0 在 x>0 上恒成立，
所以 当x>0时，ln(1+1/x)<1/x成立，即当x>0时，ln1+x/x<1/x 成立。
令g(x)=ln1+x/x-1/1+x，则g ' (x)= -1/(1+x)^2x <0，
当x~正无穷时，g(x)~0，
所以 g(x)>0 在 x>0 上恒成立，即 ln1+x/x>1/1+x 在 x>0 上恒成立，
所以 当x>0时,1/1+x<ln1+x/x<1/x 成立。