Question

高一函数问题

求满足下列条件的函数f(x)的解析式：
（1）f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+4;
（2）f(x)是二次函数，且f(x+4)+f(x-1)=x²-2x

求解

Answer 1

（1）
假设f(x)=a*x+b
则f[f(x)]=a*(a*x+b)+b=4x+4
=> a^2=4 a*b+b=4
=> a=2 b=4/3 或 a=-2 b=-4
=> f(x)=2x+4/3 或 f(x)=-2x-4

（2）
假设f(x)=a*x^2+b*x+c
则f(x+4)+f(x-1)=a*(x+4)^2+b*(x+4)+c+a*(x-1)^2+b*(x-1)+c=x^2-2*x
即：2*a*x^2+(6*a+2*b)*x+(17*a+3*b+2*c)=x^2-2*x
=> 2*a=1 6*a+2*b=-2 17*a+3*b+2*c=0
=> a=1/2 b=-5/2 c=-1/2
=> f(x)=(x^2-5*x-1)/2

Answer 2

1.令f（x）=ax+b，所以，f[f(x)]=a（ax+b）+b，和那个对应下，就可以求出
2。令f（x）=ax^2+bx+c,同理,带入，可得。