Question

级数1/n²lnn的敛散性

Answer 1

分享一种解法，转化成积分形式、利用广义积分的敛散性定理求解。
显然，级数∑1/(n²lnn)的n=2,3，……，∞。∴级数∑1/(n²lnn)与∫(2,∞)dx/(x²lnx)具有相同的敛散性。
令lnx=t，∴∫(2,∞)dx/(x²lnx)=∫(ln2,∞)e^(-t)dt/t。
设f(t)=e^(-t)/t。∴lim(t→∞)t²f(t)=lim(t→∞)t/e^t=0。由广义积分的极限判别法，可知∫(ln2,∞)e^(-t)dt/t收敛。
∴级数∑1/(n²lnn)收敛。
供参考。

Answer 2

级数1/n²lnn是收敛的，理由如下：
(1) 1/n²lnn在正自然数区间上恒有1/n²lnn>=0；
(2) 对分子分母进行求导：(1/n)/2n=1/(2n^2)，趋近于0；

(3) 1/(n+1)²ln(n+1)/[1/n²lnn]<=1，递减。

追问

（2）洛必达分子不就是0了吗
（3）我算的极限是1……

Answer 3

望有所帮助。

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 5

1/(lnn)²发散
1/(lnn)²是正项级数,可使用比较判别法：[n->∞] lim[1/(lnn)²]/(1/n)=limn/ln²n=∞,由于调和级数发散,所以∑1/(lnn)²发散
1/nlnn发散
由于是非负递减序列,使用柯西积分判别法,1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性
∫1/xlnxdx=∫1/lnxd(lnx)=lnlnx[2->∞]=∞-lnln2发散,故原级数发散
sin[(n²+1)/n]发散
这个题目有点奇怪,因为n->∞时,[(n²+1)/n]->∞,sin∞=?