Question

变上限下限积分求极限

如图，对分子求导该怎么求。。。谢谢🙏

Answer 1

如图所示

Answer 2

令 u = xt，则 t = u/x, dt = du/x
原式 = lim<x→0>[∫<下x^3, 上x^2>sinu/(u/x)(du/x)]/x^2
= lim<x→0>[∫<下x^3, 上x^2>(sinu/u)du/x^2 (0/0)
= lim<x→0>[2xsin(x^2)/x^2-3x^2sin(x^3)/x^3]/(2x)
= lim<x→0>[2sin(x^2)-3sin(x^3)]/(2x^2) (0/0)
= lim<x→0>[4xcos(x^2)-9x^2cos(x^3)]/(4x)
= lim<x→0>[4cos(x^2)-9xcos(x^3)]/4 = 1

Answer 3

∫(x²,x) sin(xt)/t dt
=∫(x²,x) x*sin(xt)/(xt) dt
=∫(x²,x) sin(xt)/(xt) d(xt)
=∫(x³,x²) sinu/u du 【令u=xt】
∴(∫(x²,x) sin(xt)/t dt)'
=(∫(x³,x²) sinu/u du)'
=sinx²/x²*2x-sinx³/x³*3x²
=(2sinx²-3sinx³)/x