Question

求变上限积分的极限（图），常规方法貌似做不对

谢谢
罗比塔法

Answer 1

怀疑是出错题了。结果是无穷，不是有限数。
如果你注意到积分收敛，则可以知道这是0/0型的，可以用洛必达法则。
原式=lim (x^2-1)ln(x^2)/(3x^2)=无穷。
如果不会这么做，也可以先求出积分值来。
分子分部积分
=积分(从0到x^2)lnt d(t^2/2-t)
=ln(x^2)*(x^4/2-x^2)-积分(从0到x^2)(t/2-1)dt
=(x^4/2-x^2)*ln(x^2)-x^4/4+x^2。
因此原式=lim (x^4ln(x^2)-x^4/4)/x^3+(x^2-x^2ln(x^2))/x^3
=0+lim （1-lnx^2)/x
很明显，极限是无穷。

追问

这个题肯定是要用罗必塔法，但最后的答案是 3/8

追答

题目肯定有误。只要积分里面是多项式乘以lnt，那么极限必定是无穷。
不会是3/8。