Question

设集合M={a|a=x^2-y^2,x,y∈z}求证：

（1）一切奇数属于集合M
（2）偶数4k-2(k∈Z)不属于集合M
（3）属于M的两个整数，其乘积仍属于M

Answer 1

奇数=2k+1=(k+1+k)(k+1-1)=(k+1)^2-k^2,所以属于M。

偶数=(x+y)(x-y),那么(x+y)与(x-y)必有一个为偶数，而且(x+y)，(x-y)中只要有一个是偶数，另一个也是偶数，那么这个数就必须是4的倍数，与4k-2不同。

由上面两条得出M中的数要么是奇数，要么是4的倍数。

所以这些数任意两个的乘积也要么是奇数，要么是4的倍数。

所以就是属于集合M的。

概念

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。

例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。

Answer 2

1
奇数=2k+1=(k+1+k)(k+1-1)=(k+1)^2-k^2,所以属于M

2
偶数=(x+y)(x-y),那么(x+y)与(x-y)必有一个为偶数，而且(x+y)，(x-y)中只要有一个是偶数，另一个也是偶数，那么这个数就必须是4的倍数，与4k-2不同

3
由上面两条得出M中的数要么是奇数，要么是4的倍数

所以这些数任意两个的乘积也要么是奇数，要么是4的倍数

所以就是属于集合M的

Answer 3

1:设奇数是2k＋1, k为整数
则：2k+1=(k+1)^2-k^2
m=k+1 n=k
所以是M的元素

2:假设4K-2属于A
那么4K-2=m^2-n^2
整理得m^2-n^2/4+1/2=k
(m-n)(m+n)/4+1/2=k
因为K属于Z,所以（m-n)(m+n)=2p*(2t+1),p;t属于z
因为(m+n)(m-n)不可能是一奇一偶的乘积
这与"（m-n)(m+n)=2p*(2t+1),p;t属于z"相矛盾
所以偶数4K-2(K∈Z)不属于M

3:设a=m1^2-n1^2,b=m2^2-n2^2
ab=(m1^2-n1^2)(m2^2-n2^2)
=(m1m2)^2+(n1n2)^2-(m1n2)^2-(m2n1)^2
=(m1m2+n1n2)^2-(m1n2+m2n1)^2∈M
得证