Question

初三数学题 线段的垂直平分线

三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，CE‖AD交BA的延长线于E,CF⊥AD交AB于F,交AD于G (1)求证:△ACE是等腰三角形 （2）求证：AD是CF的垂直平分线

Answer 1

如图

Answer 2

（1）∵CE//AD，且AD平分角BAC
∴角DAC=角ACE
又∵角DAC=角BAD，且角BAD=角AEC
∴角ACE=角AEC
即△ACE是等腰三角形

（2）∵CF⊥AG于G，且角FAG=角CAG，
∴△FAC是等腰三角形
∴FA=AC=AE
又∵AG//CE
∴FG=GC
∴AG是CF的垂直平分线
即AD是CF的垂直平分线

Answer 3

证明：⑴∵AD‖CE
∴∠BAD=∠AEC,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∴∠AEC=∠ACE
∴⊿ACE是等腰三角形
⑵∵∠FAG=∠CAG,∠AGF=∠AGC=90°,AG=AG
∴⊿FAG≌⊿CAG
∴FG=CG
∴AD是CF的垂直平分线

Answer 4

⑴AD‖CE
∠BAD=∠AEC,∠DAC=∠ACE
AD平分∠BAC
∠BAD=∠DAC
∠AEC=∠ACE
⊿ACE是等腰三角形

现在证明第二问：因为AD为∠BAC（或者成是说∠CAF）的角平分线，G是角平分线上一点，又因为FC⊥AD（或者说是AG），现在可以证明△GAF与△GAC为全等直角三角形，所以GF=GC,从而证明出AD是CF的垂直平分线。
欢迎批评指正。