Question

高二数学解答题

已知a＞0，b＞0，求证
（1）（a+b)(1/a+1/b)≥4
（2）√ab + √bc + √ca ≤a+b+c≤√a²+b²/2 + √b²+c²/2 + √a²+c²/2

Answer 1

（1）
（a+b)(1/a+1/b)
=1+b/a+a/b+1
=(b/a+a/b)+2≥2+2√(b/a)(a/b)=2+2=4
所以，（a+b)(1/a+1/b)≥4
（2）因为：a+b≥2√ab,a+c≥2√ac,b+c≥2√bc
把上面三个式子同向相加，得
（a+b)+(a+c)+(a+c)≥2√ab+2√ac+2√bc
即2（a+b+c)≥2√ab+2√ac+2√bc,两边同时除以2，得
a+b+c≥√ab+√ac+√bc，即）√ab + √bc + √ca ≤a+b+c
接下来算右边
因为:a²+b²≥2ab，所以
（a²+b²）+（a²+b²）≥（a²+b²）+2ab=(a+b)²，
即2（a²+b²)）≥(a+b)²,两边同时除以4，得

（a²+b²)/2≥(a+b)²/4≥<(a+b)/2>²，即（a²+b²)/2≥<(a+b)/2>²
两边同时开根号，
得√a²+b²/2 ≥(a+b)/2
同理，√a²+c/2 ≥(a+c)/2,
b²+√c²/2≥(b+c)/2
把上面的三个式子同向相加，得，
（√a²+b²/2） +（√a²+c²/2） +（√b²+√c²/2）
≥(+b)/2+(a+c)/2+(b+c)/2
整理，得
√a²+b²/2 + √b²+c²/2 + √a²+c²/2 ≥a+b+c,即
a+b+c≤√a²+b²/2 + √b²+c²/2 + √a²+c²/2，
因此，
√ab + √bc + √ca ≤a+b+c≤√a²+b²/2 + √b²+c²/2 + √a²+c²/2

Answer 2

1）首先将第2个括号进行通分得到：A+B/AB
然后利用基本不等式得到：（A+B）^2/a+b
基本不等式知道A+B>2AB
由此得到（a+b)(1/a+1/b)≥4
2）待定，谢谢

Answer 3

看图

Answer 4

1.

2.
2a+2b+2c=(a+b)+(a+c)+(b+a)≥2√(ab)+2√(ac)+2√(bc)
即 √ab + √bc + √ca ≤a+b+c