已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,角F1PF2=90度,求椭圆离心率的取值范围.
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设PF1=x PF2=y 依题意有 x+y=2a ①
又 ∠F1PF2=90° ∴ x^2+y^2=(2c)^2 ②
易知 (x^2+y^2)/2≥[(x+y)/2]^2=a^2 ∴②/①^2 得
(x^2+y^2)/(x+y)^2=4c^2/(4a^2)=e^2
∴ e^2=(x^2+y^2)/(x+y)^2≥2[(x+y)/2]^2/(x+y)^2=1/2
∴ e≥√2/2 或 e≤-√2/2 (舍去) 又 0
又 ∠F1PF2=90° ∴ x^2+y^2=(2c)^2 ②
易知 (x^2+y^2)/2≥[(x+y)/2]^2=a^2 ∴②/①^2 得
(x^2+y^2)/(x+y)^2=4c^2/(4a^2)=e^2
∴ e^2=(x^2+y^2)/(x+y)^2≥2[(x+y)/2]^2/(x+y)^2=1/2
∴ e≥√2/2 或 e≤-√2/2 (舍去) 又 0
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