Question

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|．（I）当a=...

选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|． （I）当a=1时，求f（x）≤3的解集； （II）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-2|=3x-3，当x≥2时x+1，当12＜x＜2时-3x+3，当x≤12时，
①当x＞2时，f（x）＞3；
②当12≤x≤2时，32≤f(x)≤3；
③当x＜12时，f（x）=-3x+3，由-3x+3≤3，解得x≥0，∴0≤x＜12．
综上可知：0≤x≤2．
故f（x）≤3的解集为{x|0≤x≤2}；
（II）∵x∈[1，2]，∴|2x-1|=2x-1，
由f（x）≤3，可得2x-1+|x-2a|≤3，即|x-2a|≤4-2x，
∵x∈[1，2]，∴4-2x≥0．
∴当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立⇔|x-2a|≤4-2x恒成立，x∈[1，2]．
⇔2x-4≤2a-x≤4-2x恒成立，x∈[1，2]，
⇔32x-2≤a≤2-12x恒成立，x∈[1，2]．
解得a=1．
故实数a的取值范围是a=1．